Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{y + \ln (x)}{x}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1.1.2

Resta $\frac{y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 1}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.2.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.2.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

Paso 3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

Paso 3.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

Paso 3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

Paso 3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Paso 7.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Paso 7.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Paso 7.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Paso 7.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 7.5.1

Simplifica.

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Paso 7.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ por $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.5.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Paso 7.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Paso 7.7

Reescribe $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ como $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Suma $\frac{\ln (x)}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

Paso 8.1.2

Suma $\frac{1}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

Paso 8.1.3

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Paso 8.1.4

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Resta $\frac{\ln (x)}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 8.2.2

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

Paso 8.2.3

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Paso 8.4.2.1.2

Simplifica.

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Paso 8.4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (x)}{x}$ al numerador.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Paso 8.4.2.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Paso 8.4.2.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

Paso 8.4.2.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.2.1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Paso 8.4.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Paso 8.4.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

Paso 8.4.2.1.3

Mueve $- 1$ .

$y = - \ln (x) + C x - 1$

Paso 8.4.2.1.4

Reordena $- \ln (x)$ y $C x$ .

$y = C x - \ln (x) - 1$