Cálculo Ejemplos

$(2 x y + 6 x) d x + (x^{2} + 4 y^{3}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y + 6 x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 6 x]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + 6 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $6 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Paso 1.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} + 4 y^{3}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 y^{3}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Paso 2.4

Como $4 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Paso 2.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x = 2 x$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + 6 x d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 2 x y + 6 x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int 6 x d x$

Paso 5.2

Dado que $2 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int 6 x d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x d x$

Paso 5.4

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 1 y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 6 \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.5

Combina $6$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{6 x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 5.7.6.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2} + C$

Paso 5.7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (1)} + C$

Paso 5.7.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Paso 5.7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 x^{2}}{1} + C$

Paso 5.7.6.2.4

Divide $3 x^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + 3 x^{2} + g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8.4

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = x^{2} + 4 y^{3}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + 4 y^{3} - x^{2}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 4 y^{3} - x^{2}$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $4 y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $4 y^{3}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

Paso 10.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ como $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{4} + C$

Paso 10.5.2.3

Multiplica $y^{4}$ por $1$ .

$g (y) = y^{4} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 3 x^{2} + y^{4} + C$