Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ , $y (16) = 6$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 3, 1$

Paso 3.2.2

Como $y, 3, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 3, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{1}$ .

Paso 3.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.5

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 3.2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.7

El MCM de $1, 3, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 3.2.8

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.2.9

El MCM de $y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y$

Paso 3.2.10

El MCM para $y, 3, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 y$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ por $3 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ por $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2.1.4

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

Paso 3.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + K (3 y)$

Paso 3.3.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$

Paso 3.3.3.2

Reordena los factores en $2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$ .

$- 3 = 2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$ .

$2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$

Paso 3.4.2

Factoriza $y$ de $2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $y$ de $2 y x^{\frac{3}{2}}$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + 3 K y = - 3$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $y$ de $3 K y$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K) = - 3$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $y$ de $y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K)$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ por $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ por $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ .

$\frac{y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K)}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K} = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $16$ por $x$ y de $6$ por $y$ en $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ .

$6 = - \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{3} + K} = 6$

Paso 6.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 64 + K} = 6$

Paso 6.2.5

Multiplica $2$ por $64$ .

$- \frac{3}{128 + K} = 6$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$128 + K, 1$

Paso 6.3.2

Elimina los paréntesis.

$128 + K, 1$

Paso 6.3.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$128 + K$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $- \frac{3}{128 + K} = 6$ por $128 + K$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{3}{128 + K} = 6$ por $128 + K$ .

$- \frac{3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $128 + K$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{128 + K}$ al numerador.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Paso 6.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Paso 6.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 3 = 6 (128 + K)$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 = 6 \cdot 128 + 6 K$

Paso 6.4.3.2

Multiplica $6$ por $128$ .

$- 3 = 768 + 6 K$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $768 + 6 K = - 3$ .

$768 + 6 K = - 3$

Paso 6.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Resta $768$ de ambos lados de la ecuación.

$6 K = - 3 - 768$

Paso 6.5.2.2

Resta $768$ de $- 3$ .

$6 K = - 771$

Paso 6.5.3

Divide cada término en $6 K = - 771$ por $6$ y simplifica.

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Paso 6.5.3.1

Divide cada término en $6 K = - 771$ por $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

Paso 6.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

Paso 6.5.3.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{- 771}{6}$

Paso 6.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.3.1

Cancela el factor común de $- 771$ y $6$ .

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Paso 6.5.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 771$ .

$K = \frac{3 (- 257)}{6}$

Paso 6.5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.3.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

Paso 6.5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

Paso 6.5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$K = \frac{- 257}{2}$

Paso 6.5.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = - \frac{257}{2}$

Paso 7

Sustituye $- \frac{257}{2}$ por $K$ en $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $- \frac{257}{2}$ por $K$ .

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{257}{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Para escribir $2 x^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{257}{2}}$

Paso 7.2.2

Combina $2 x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{257}{2}}$

Paso 7.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 257}{2}}$

Paso 7.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = - \frac{3}{\frac{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}{2}}$

Paso 7.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - (3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257})$

Paso 7.4

Multiplica $3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ .

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Paso 7.4.1

Combina $3$ y $\frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$

Paso 7.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = - \frac{6}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$