Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 2 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 2 x$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 2 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (2 x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (2 x)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (2 x)$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (2 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x \cdot x$

Paso 3.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 (x \cdot x)$

Paso 3.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x^{2}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 2 x^{2}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 2 x^{2} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int 2 x^{2} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x y = 2 \int x^{2} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Paso 7.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x y = \frac{2}{3} x^{3} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x y = \frac{2}{3} x^{3} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{2}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{x (\frac{2}{3} x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x (\frac{2}{3} x^{2})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{2}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (\frac{2}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.1.2.5

Divide $\frac{2}{3} x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$