Cálculo Ejemplos

$(3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}) d x + (e^{x + y} - 2 x + 4) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Paso 1.2.2

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

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Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x + y$ .

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Paso 1.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 1.4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 1.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + 1)$

Paso 1.4.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \cdot 1$

Paso 1.4.6

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y}$

Paso 1.5

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + e^{x + y}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x + 4]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x + y} - 2 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.6

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $e^{x + y} - 2$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 + e^{x + y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $e^{x + y} - 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} - 2 x + 4 d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Paso 5.2

Sea $u = x + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.1

Deja $u = x + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 5.2.1.1

Diferencia $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 5.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 5.2.1.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 5.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 5.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 5.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Paso 5.3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + \int 4 d y$

Paso 5.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + 4 y + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = e^{u} - 2 x y + 4 y + C$

Paso 5.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Paso 8.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 8.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.3.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.3.6

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Paso 8.4.1

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x + y} - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x + y} - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.5

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.6

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.7

Simplifica.

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Paso 8.7.1

Suma $e^{x + y} - 2 y$ y $0$ .

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 8.7.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - 2 y + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y$

Paso 9.1.2

Resta $e^{x + y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$ .

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Paso 9.1.3.1

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0 + e^{x + y} - e^{x + y}$

Paso 9.1.3.2

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + e^{x + y} - e^{x + y}$

Paso 9.1.3.3

Resta $e^{x + y}$ de $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $3 x^{2}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Paso 10.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Paso 10.5.2.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + x^{3} + C$