Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ y $y (1) = - 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Paso 4

Como $y$ es negativa en la condición inicial $(1, - 3)$ , solo considera $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ para obtener $K$ . Sustituye $1$ por $x$ y $- 3$ por $y$ .

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ .

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

Paso 5.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ como ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica ${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.4

Multiplica ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.5

Multiplica los exponentes en ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.3.5.2.1

Cancela el factor común.

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.4

Simplifica.

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$2 + 2 K = 9$

Paso 5.4

Resuelve $K$

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Paso 5.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.4.1.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 K = 9 - 2$

Paso 5.4.1.2

Resta $2$ de $9$ .

$2 K = 7$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $2 K = 7$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $2 K = 7$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Paso 6

Sustituye $\frac{7}{2}$ por $K$ en $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $\frac{7}{2}$ por $K$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

Paso 6.2

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

Paso 6.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

Paso 6.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

Paso 6.6

Combina $2$ y $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ .

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Paso 6.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.7.1

Reduce la expresión $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.7.1.1

Cancela el factor común.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Paso 6.7.1.2

Reescribe la expresión.

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

Paso 6.7.2

Divide $2 x^{2} + 7$ por $1$ .

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$