Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ por $6 x - 2 x y$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ por $6 x - 2 x y$ .

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $6 x - 2 x y$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.3.1.1

Factoriza $2 x$ de $6 x - 2 x y$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $2 x$ de $6 x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) - 2 x y}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) + 2 x (- 1 y)}$

Paso 1.1.3.1.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (3) + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - 1 y)}$

Paso 1.1.3.1.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $2 x$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{3 - y}$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $2 x$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 - y}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$2 x d x = \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 3 - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 3 - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 2.3.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$x^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - y$ .

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| 3 - y |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 3 - y |) + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Paso 3.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Paso 3.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Paso 3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$