Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$ , $y (0) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{4}{1 + x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ .

$3 = 4 \ln (| 1 + 0 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$ .

$4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$

Paso 4.2

Simplifica $4 \ln (| 1 + 0 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$4 \ln (1) + C = 3$

Paso 4.2.2.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$4 \cdot 0 + C = 3$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + C = 3$

Paso 4.2.3

Suma $0$ y $C$ .

$C = 3$

Paso 5

Sustituye $3$ por $C$ en $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $3$ por $C$ .

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + 3$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Simplifica $4 \ln (| 1 + x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$y = \ln ({| 1 + x |}^{4}) + 3$

Paso 5.2.2

Elimina el valor absoluto en ${| 1 + x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \ln ({(1 + x)}^{4}) + 3$