Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por ${(2 y + 1)}^{2}$ .

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(2 y + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = 4$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

${(2 y + 1)}^{2} d y = 4 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int {(2 y + 1)}^{2} d y = \int 4 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 y + 1$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{2} d u = \int 4 d x$

Paso 2.2.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{2}}{2} d u = \int 4 d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u^{2} d u = \int 4 d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1}) = \int 4 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

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Paso 2.2.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Paso 2.2.5.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y + 1$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} = 4 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $6$ .

$6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3}) = 6 (4 x + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $6 (4 x + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x) + 6 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $6$ .

${(2 y + 1)}^{3} = 24 x + 6 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{24 x + 6 K}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe.

$2 y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Paso 3.4.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $6$ de $24 x + 6 K$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $6$ de $24 x$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $6$ de $6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $6$ de $6 (4 x) + 6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x + K)}$

Paso 3.5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$

Paso 3.6

Divide cada término en $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1}{2}$