Cálculo Ejemplos

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\arctan (x) + x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 1.2.2

Como $\arctan (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Paso 1.4

Suma $0$ y $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 2.2.2

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

Paso 2.3.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

Paso 2.3.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Paso 2.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Paso 2.3.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

Paso 2.4

Suma $0$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = x$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$x = x$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Paso 5.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

Paso 5.4

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.2.2

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.3.3

Como $\frac{y}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2} y}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.3.5

Combina $2$ y $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.3.6

Combina $\frac{2 y}{2}$ y $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.7.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.3.7.2

Divide $y x$ por $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Suma $0$ y $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $\arctan (x) + x y - x y$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $\arctan (x)$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $\arctan (x)$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

Paso 10.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (x)$ y $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 10.4

Combina $x$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 10.5

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.5.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.5.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 10.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 10.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 10.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 10.5.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 10.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 10.6

Simplifica.

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Paso 10.6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 10.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Paso 10.6.3

Multiplica $2$ por $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 10.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 10.8

Elimina los paréntesis.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10.9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 10.10

Simplifica.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 10.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 12.1.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Paso 12.1.3.1

Reordena $\ln (| x^{2} + 1 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Paso 12.1.3.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 12.2

Para escribir $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 12.3

Combina $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.1

Multiplica $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Paso 12.5.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Paso 12.5.1.2

Simplifica $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Paso 12.5.2

Multiplica los exponentes en ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 12.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 12.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 12.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

Paso 12.5.3

Simplifica.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Paso 12.6

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$