Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - 5 e^{x + 5}$ , $y (- 5) = 7$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = - 5 e^{x + 5} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - 5 e^{x + 5} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - 5 e^{x + 5} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 5 \int e^{x + 5} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x + 5$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = - 5 \int e^{u} d u$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 5 (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = - 5 e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$y + C_{1} = - 5 e^{x + 5} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $- 5$ por $x$ y de $7$ por $y$ en $y = - 5 e^{x + 5} + K$ .

$7 = - 5 e^{- 5 + 5} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$ .

$- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$

Paso 4.2

Simplifica $- 5 e^{- 5 + 5} + K$ .

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Paso 4.2.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$- 5 e^{0} + K = 7$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 5 \cdot 1 + K = 7$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5 + K = 7$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 7 + 5$

Paso 4.3.2

Suma $7$ y $5$ .

$K = 12$

Paso 5

Sustituye $12$ por $K$ en $y = - 5 e^{x + 5} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $12$ por $K$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + 12$