Cálculo Ejemplos

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3 y^{3}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y^{3}$ con respecto a $y$ es $- 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 (3 y^{2})$

Paso 1.4.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 9 y^{2}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y^{2} + 4 x y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 7 - 3 x y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7 - 3 x y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - 3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 2.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2}$

Paso 2.4

Resta $3 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 9 y^{2} + 4 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 3 y^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 3 y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $- 9 y^{2} + 4 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $M$ .

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2}) - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - 4 (x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.2.4

Suma $- 3 y^{2}$ y $9 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.2.5

Factoriza $2 y$ de $6 y^{2} - 4 x y$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Factoriza $2 y$ de $6 y^{2}$ .

$\frac{2 y (3 y) - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.2.5.2

Factoriza $2 y$ de $- 4 x y$ .

$\frac{2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.2.5.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $y$ de $2 y (3 y - 2 x)$ .

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.4.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2} (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

Paso 4.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

Paso 4.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (3 y - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $3 y - 2 x$ y $2 x - 3 y$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $3 y$ .

$\frac{2 (- (- 3 y) - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.5.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y) - (2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 3 y) - (2 x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.5.4

Reescribe $- (- 3 y + 2 x)$ como $- 1 (- 3 y + 2 x)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.5.5

Reordena los términos.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.5.6

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 4.3.5.7

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.7

Sustituye $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) \frac{1}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $y^{2}$ de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ .

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 6.4.2

Divide $2 x - 3 y$ por $1$ .

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $7 - 3 x y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $7 - 3 x y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x - 3 y) d x + \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x - 3 y d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = 2 x - 3 y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int - 3 y d x$

Paso 8.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int - 3 y d x$

Paso 8.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 y d x$

Paso 8.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y x + C$

Paso 8.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 y x + C$

Paso 8.6

Simplifica.

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 3 y x + g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11.2

Diferencia.

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Paso 11.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11.2.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 3 y x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $- 3 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y x$ con respecto a $y$ es $- 3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Resta $3 x$ de $0$ .

$- 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 11.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Paso 12.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.2.1

Divide la fracción $\frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Paso 12.1.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 12.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Paso 12.1.2.2.2

Divide $- 3 x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $\frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$ .

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Paso 12.1.3.1

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + 0$

Paso 12.1.3.2

Suma $\frac{7}{y^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $\frac{7}{y^{2}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

Paso 13.3

Dado que $7$ es constante con respecto a $y$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$g (y) = 7 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 13.4

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (y) = 7 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Paso 13.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 13.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = 7 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Paso 13.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = 7 \int y^{- 2} d y$

Paso 13.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 7 (- y^{- 1} + C)$

Paso 13.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.7.1

Reescribe $7 (- y^{- 1} + C)$ como $7 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = 7 (- \frac{1}{y}) + C$

Paso 13.7.2

Simplifica.

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Paso 13.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$g (y) = - 7 \frac{1}{y} + C$

Paso 13.7.2.2

Combina $- 7$ y $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{- 7}{y} + C$

Paso 13.7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (y) = - \frac{7}{y} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x - \frac{7}{y} + C$