Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \cos^{2} (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Paso 2.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Paso 2.3.5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 2.3.6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 2.3.8

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Paso 2.3.11

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Paso 2.3.11.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C_{4}$

Paso 2.3.12

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + K$