Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combina $\frac{y}{1 + y^{2}}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2.5

Divide $y$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.7

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\sin (0) + C$ .

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Paso 4.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

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Paso 4.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Paso 4.3.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Paso 4.3.1.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Paso 4.3.1.1.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Paso 4.3.1.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Paso 5

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $C$ en $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$