Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} - 4 y + 2 x = 0$ , $y (1) = 10$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$

Paso 1.2

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Paso 1.4.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = - 2$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{- 4 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = - 2$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{- 4}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = - 2$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 4}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 4}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 4 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 4}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{4}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{4}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{4 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{x^{4}}$ y $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{- 2}{x^{4}}$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = - \frac{2}{x^{4}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = - \frac{2}{x^{4}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{4}} y = - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{4}} y = - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Paso 7.3.2

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Paso 7.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Paso 7.3.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{- 4} d x$

Paso 7.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Paso 7.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.5.1

Simplifica.

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Paso 7.5.1.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Paso 7.5.1.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Paso 7.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Paso 7.5.3

Simplifica.

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Paso 7.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Paso 7.5.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Resta $\frac{2}{3 x^{3}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} = C$

Paso 8.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Paso 8.1.3

Combina $\frac{1}{x^{4}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Suma $\frac{2}{3 x^{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{4}} - C = \frac{2}{3 x^{3}}$

Paso 8.2.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{4}} = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{3 x^{3}} x^{4} + C x^{4}$

Paso 8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} x^{4} + C x^{4}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Paso 8.4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Paso 8.4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{3} x + C x^{4}$

Paso 8.4.2.1.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + C x^{4}$

Paso 8.4.2.1.4

Reordena $\frac{2 x}{3}$ y $C x^{4}$ .

$y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $10$ por $y$ en $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ .

$10 = C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$

Paso 10.2

Simplifica $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$ .

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Paso 10.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2}{3} = 10$

Paso 10.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$C \cdot 1 + \frac{2}{3} = 10$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$C + \frac{2}{3} = 10$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Resta $\frac{2}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 10 - \frac{2}{3}$

Paso 10.3.2

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$C = 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 10.3.3

Combina $10$ y $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 10.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{10 \cdot 3 - 2}{3}$

Paso 10.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.5.1

Multiplica $10$ por $3$ .

$C = \frac{30 - 2}{3}$

Paso 10.3.5.2

Resta $2$ de $30$ .

$C = \frac{28}{3}$

Paso 11

Sustituye $\frac{28}{3}$ por $C$ en $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $\frac{28}{3}$ por $C$ .

$y = \frac{28}{3} x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Paso 11.2

Combina $\frac{28}{3}$ y $x^{4}$ .

$y = \frac{28 x^{4}}{3} + \frac{2 x}{3}$