Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 x d x}$

Paso 1.2

Integra $2 x$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int x d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (3 x)$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (3 x)$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 3 e^{x^{2}} x$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 3 e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 3 x e^{x^{2}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 3 x e^{x^{2}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 3 x e^{x^{2}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{2}} y = \int 3 x e^{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{x^{2}} y = 3 \int x e^{x^{2}} d x$

Paso 6.2

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 6.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

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Paso 6.2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 6.2.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 3 \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$e^{x^{2}} y = 3 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$

Paso 6.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.4.1

Reescribe $3 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$ como $3 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 3 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$

Paso 6.4.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{3}{2} u_{2} + C$

Paso 6.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{3}{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = \frac{3}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = \frac{3}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{3}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{3}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{3}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$