Cálculo Ejemplos

$4 x y d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $4 x y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Paso 3.3

Combina $- 4$ y $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $y$ de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Paso 3.5

Combina $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 4.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.3.4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 4.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ por ${(x^{2} + 1)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ por ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.5.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$