Cálculo Ejemplos

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.3

Factoriza $y$ de $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.4

Reordena $y$ y $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 2.2.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$e^{\int \tan (x) d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sec (x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\sec (x)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2.3

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2.5

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2.5.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2.5.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.3

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 3.4.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Paso 3.4.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Paso 3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1

Separa las fracciones.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.3

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.4

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.5

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.6

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.7

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.9

Divide $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 3.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Paso 3.9

Reordena los factores en $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 7

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $\sec (x) y = \tan (x) + C$ por $\sec (x)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $\sec (x) y = \tan (x) + C$ por $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\sec (x)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.3.1.4

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.3.1.5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 8.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 8.3.1.6

Separa las fracciones.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Paso 8.3.1.7

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Paso 8.3.1.8

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Paso 8.3.1.9

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Paso 8.3.1.10

Divide $C$ por $1$ .

$y = \sin (x) + C \cos (x)$