Cálculo Ejemplos

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1) d x + 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)]$

Paso 1.2

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ con respecto a $y$ es $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + x y^{3} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 1.5

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y^{3}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 1.7

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 \cdot x y^{2} + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 1.8

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2} + 0)$

Paso 1.9

Suma $3 y^{2} + 3 x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2})$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2}) + e^{x} (3 x y^{2})$

Paso 1.10.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + e^{x} (3 x y^{2})$

Paso 1.10.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} (x e^{x} - 6)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ con respecto a $x$ es $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.5.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.5.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + 0)$

Paso 2.5.4

Suma $x e^{x} + e^{x}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x})$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x}) + 3 y^{2} e^{x}$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $3 (x e^{x} - 6)$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3 (x e^{x} - 6)$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) \int y^{2} d y$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 5.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1

Reescribe $3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $(3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3} + C$

Paso 5.3.3

Simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Reordena los términos.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Paso 5.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.2

Como $\frac{y^{3}}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x e^{x} - 18$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.8

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.9

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x}) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.10

Suma $3 (x e^{x} + e^{x})$ y $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.11

Combina $3$ y $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.3.12.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} (x e^{x}) + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Paso 9.1.2

Simplifica $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

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Paso 9.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x} \cdot 1$

Paso 9.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.2.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$

Paso 9.1.2.2.2

Reordena los factores en $e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x}$

Paso 9.1.3

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.3.1

Resta $y^{3} x e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x}$

Paso 9.1.3.2

Resta $y^{3} e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$

Paso 9.1.3.3

Combina los términos opuestos en $y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$ .

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Paso 9.1.3.3.1

Reordena los factores en los términos $x y^{3} e^{x}$ y $- y^{3} x e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} - e^{x} y^{3} x - y^{3} e^{x}$

Paso 9.1.3.3.2

Resta $e^{x} y^{3} x$ de $e^{x} y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Paso 9.1.3.3.3

Suma $y^{3} e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Paso 9.1.3.3.4

Resta $y^{3} e^{x}$ de $y^{3} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Paso 9.1.3.3.5

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $e^{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Paso 10.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = (3 x e^{x} \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x e^{x}$ .

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = (x e^{x} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 18$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 (- 6) \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 \cdot - 6 \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = (x e^{x} - 6) y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y^{3} e^{x} - 6 y^{3} + e^{x} + C$