Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt{x} d x$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + K$