Cálculo Ejemplos

$2 x (y d) y = (x^{2} - y^{2}) d x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $(x^{2} - y^{2}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y d y - (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

Paso 1.2

Reescribe.

$- (x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} - y^{2})]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (x^{2} - y^{2})$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Paso 2.4

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.7

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.7.2

Multiplica $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 3.2

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 y = 2 y$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - y^{2}) d x$

Paso 6

Integra $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} - y^{2} d x$

Paso 6.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d x + \int - y^{2} d x)$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - y^{2} d x)$

Paso 6.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C - y^{2} x + C)$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} + C - y^{2} x + C)$

Paso 6.6

Simplifica.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

Paso 7

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

Paso 9.2

Diferencia con la regla de la suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

Paso 9.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.3.3

Como $\frac{x^{3}}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.3.4

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2} x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (0 - x (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- (0 - 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.3.7

Resta $2 x y$ de $0$ .

$- (- 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y$

Paso 9.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Paso 10.1.2

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 11.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 11.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 12

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

Paso 13

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + C$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} - (- y^{2} x) + C$

Paso 13.3

Multiplica $- (- y^{2} x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + 1 (y^{2} x) + C$

Paso 13.3.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + C$