Cálculo Ejemplos

$(x - y^{2} x) d x + (y - x^{2} y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x - y^{2} x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{2} x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y^{2} x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Paso 1.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2} x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Paso 1.4

Resta $2 x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y - x^{2} y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{2} y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x^{2} y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Paso 2.2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 y x$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Resta $2 y x$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x$

Paso 2.4.2

Reordena los factores de $- 2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 x y = - 2 x y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y^{2} x d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = x - y^{2} x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x d x + \int - y^{2} x d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y^{2} x d x$

Paso 5.3

Dado que $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} \int x d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Paso 5.6.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

Paso 5.7.2

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

Paso 5.7.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y - x^{2} y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.2.2

Como $\frac{1}{2} x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.2

Combina $y^{2}$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.3

Como $- \frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.7

Combina $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ y $y$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.8

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 8.3.8.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.3.8.2.4

Divide $- x^{2} y$ por $1$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Resta $x^{2} y$ de $0$ .

$- x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = y - x^{2} y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $x^{2} y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = y - x^{2} y + x^{2} y$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $y - x^{2} y + x^{2} y$ .

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Paso 9.1.2.1

Suma $- x^{2} y$ y $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Paso 10.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12.3

Combina $y^{2}$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$