Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{3}}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{2 y^{3}}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y^{3})}{y^{3} {(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y^{3})}{y^{3} {(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 2 x - 3$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 2 x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.1.3

Multiplica $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int u^{- 2} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - u^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reescribe $- u^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{u} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \frac{1}{u} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 3$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2 x - 3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{1}{2 x - 3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y^{2}, 2 x - 3, 1$

Paso 3.1.2

Como $2 y^{2}, 2 x - 3, 1$ contiene tanto números como variables, hay cuatro pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para las partes numérica, variable y variable compuesta. Luego, multiplícalos.

Los pasos para obtener el MCM para $2 y^{2}, 2 x - 3, 1$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $2, 1, 1$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $y^{2}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $2 x - 3$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 3.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.1.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 3.1.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.1.6

El MCM de $2, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 3.1.7

Los factores para $y^{2}$ son $y \cdot y$ , que es $y$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ ocurre $2$ veces.

Paso 3.1.8

El MCM de $y^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y \cdot y$

Paso 3.1.9

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2}$

Paso 3.1.10

El factor para $2 x - 3$ es $2 x - 3$ en sí mismo.

$(2 x - 3) = 2 x - 3$

$(2 x - 3)$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.1.11

El MCM de $2 x - 3$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$2 x - 3$

Paso 3.1.12

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$2 y^{2} (2 x - 3)$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{1}{2 x - 3} + K$ por $2 y^{2} (2 x - 3)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{1}{2 x - 3} + K$ por $2 y^{2} (2 x - 3)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (2 x - 3)) = - \frac{1}{2 x - 3} (2 y^{2} (2 x - 3)) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2 y^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 y^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (2 x - 3)) = - \frac{1}{2 x - 3} (2 y^{2} (2 x - 3)) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (2 x - 3)) = - \frac{1}{2 x - 3} (2 y^{2} (2 x - 3)) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- (2 x - 3) = - \frac{1}{2 x - 3} (2 y^{2} (2 x - 3)) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 x) - - 3 = - \frac{1}{2 x - 3} (2 y^{2} (2 x - 3)) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.2.3

Multiplica.

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Paso 3.2.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x - - 3 = - \frac{1}{2 x - 3} (2 y^{2} (2 x - 3)) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 2 x + 3 = - \frac{1}{2 x - 3} (2 y^{2} (2 x - 3)) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 x - 3}$ al numerador.

$- 2 x + 3 = \frac{- 1}{2 x - 3} (2 y^{2} (2 x - 3)) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.3.1.1.2

Factoriza $2 x - 3$ de $2 y^{2} (2 x - 3)$ .

$- 2 x + 3 = \frac{- 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (2 y^{2})) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$- 2 x + 3 = \frac{- 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (2 y^{2})) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 2 x + 3 = - (2 y^{2}) + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + 3 = - 2 y^{2} + K (2 y^{2} (2 x - 3))$

Paso 3.2.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 x + 3 = - 2 y^{2} + 2 K y^{2} (2 x - 3)$

Paso 3.2.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x + 3 = - 2 y^{2} + 2 K y^{2} (2 x) + 2 K y^{2} \cdot - 3$

Paso 3.2.3.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 x + 3 = - 2 y^{2} + 4 K y^{2} x + 2 K y^{2} \cdot - 3$

Paso 3.2.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 2 x + 3 = - 2 y^{2} + 4 K y^{2} x - 6 K y^{2}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 2 y^{2} + 4 K y^{2} x - 6 K y^{2} = - 2 x + 3$ .

$- 2 y^{2} + 4 K y^{2} x - 6 K y^{2} = - 2 x + 3$

Paso 3.3.2

Factoriza $2 y^{2}$ de $- 2 y^{2} + 4 K y^{2} x - 6 K y^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2 y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 1) + 4 K y^{2} x - 6 K y^{2} = - 2 x + 3$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $2 y^{2}$ de $4 K y^{2} x$ .

$2 y^{2} (- 1) + 2 y^{2} (2 K x) - 6 K y^{2} = - 2 x + 3$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $2 y^{2}$ de $- 6 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 1) + 2 y^{2} (2 K x) + 2 y^{2} (- 3 K) = - 2 x + 3$

Paso 3.3.2.4

Factoriza $2 y^{2}$ de $2 y^{2} (- 1) + 2 y^{2} (2 K x)$ .

$2 y^{2} (- 1 + 2 K x) + 2 y^{2} (- 3 K) = - 2 x + 3$

Paso 3.3.2.5

Factoriza $2 y^{2}$ de $2 y^{2} (- 1 + 2 K x) + 2 y^{2} (- 3 K)$ .

$2 y^{2} (- 1 + 2 K x - 3 K) = - 2 x + 3$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $2 y^{2} (- 1 + 2 K x - 3 K) = - 2 x + 3$ por $2 (- 1 + 2 K x - 3 K)$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $2 y^{2} (- 1 + 2 K x - 3 K) = - 2 x + 3$ por $2 (- 1 + 2 K x - 3 K)$ .

$\frac{2 y^{2} (- 1 + 2 K x - 3 K)}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} = \frac{- 2 x}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2} (- 1 + 2 K x - 3 K)}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} = \frac{- 2 x}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} (- 1 + 2 K x - 3 K)}{- 1 + 2 K x - 3 K} = \frac{- 2 x}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 1 + 2 K x - 3 K$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (- 1 + 2 K x - 3 K)}{- 1 + 2 K x - 3 K} = \frac{- 2 x}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 2 x}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.3.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- x)}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = \frac{2 (- x)}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{- x}{- 1 + 2 K x - 3 K} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{x}{- 1 + 2 K x - 3 K} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.2

Para escribir $- \frac{x}{- 1 + 2 K x - 3 K}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{- 1 + 2 K x - 3 K} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- 1 + 2 K x - 3 K) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.3.3.3.1

Multiplica $\frac{x}{- 1 + 2 K x - 3 K}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = - \frac{x \cdot 2}{(- 1 + 2 K x - 3 K) \cdot 2} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.3.2

Reordena los factores de $(- 1 + 2 K x - 3 K) \cdot 2$ .

$y^{2} = - \frac{x \cdot 2}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)} + \frac{3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = \frac{- x \cdot 2 + 3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{2} = \frac{- 2 x + 3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y^{2} = \frac{- (2 x) + 3}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.7

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$y^{2} = \frac{- (2 x) - 1 (- 3)}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$y^{2} = \frac{- (2 x - 3)}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.9

Reescribe $- (2 x - 3)$ como $- 1 (2 x - 3)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 (2 x - 3)}{2 (- 1 + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.10

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 (2 x - 3)}{2 (- 1 (1) + 2 K x - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.11

Factoriza $- 1$ de $2 K x$ .

$y^{2} = \frac{- 1 (2 x - 3)}{2 (- 1 (1) - (- 2 K x) - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.12

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- 2 K x)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 (2 x - 3)}{2 (- 1 (1 - 2 K x) - 3 K)}$

Paso 3.3.3.3.13

Factoriza $- 1$ de $- 3 K$ .

$y^{2} = \frac{- 1 (2 x - 3)}{2 (- 1 (1 - 2 K x) - (3 K))}$

Paso 3.3.3.3.14

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1 - 2 K x) - (3 K)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 (2 x - 3)}{2 (- 1 (1 - 2 K x + 3 K))}$

Paso 3.3.3.3.15

Cancela el factor común.

$y^{2} = \frac{- 1 (2 x - 3)}{2 (- 1 (1 - 2 K x + 3 K))}$

Paso 3.3.3.3.16

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{2 x - 3}{2 (1 - 2 K x + 3 K)}$

Paso 3.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x - 3}{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$

Paso 3.3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2 x - 3}{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$ .

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Paso 3.3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{2 x - 3}{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$ como $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$

Paso 3.3.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$

Paso 3.3.5.3.2

Eleva $\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}^{1} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}$

Paso 3.3.5.3.3

Eleva $\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}^{1} {\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}^{1}}$

Paso 3.3.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}^{2}}$

Paso 3.3.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}^{2}$ como $2 (1 - 2 K x + 3 K)$ .

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Paso 3.3.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}$ como ${(2 (1 - 2 K x + 3 K))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{({(2 (1 - 2 K x + 3 K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{(2 (1 - 2 K x + 3 K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{(2 (1 - 2 K x + 3 K))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{(2 (1 - 2 K x + 3 K))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{{(2 (1 - 2 K x + 3 K))}^{1}}$

Paso 3.3.5.3.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{2 (1 - 2 K x + 3 K)}$

Paso 3.3.5.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x - 3) \cdot 2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{2 (1 - 2 K x + 3 K)}$

Paso 3.3.5.5

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(2 x - 3) \cdot 2 (1 - 2 K x + 3 K)}}{2 (1 - 2 K x + 3 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - 3) (1 - 2 K x + 3 K)}}{2 (1 - 2 K x + 3 K)}$

Paso 3.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.