Cálculo Ejemplos

$x (y^{2} - 1) d y + y (x^{2} - 1) d x = 0$

Paso 1

Resta $y (x^{2} - 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x (y^{2} - 1) d y = - y (x^{2} - 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $y^{2} - 1$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x y}$ al numerador.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Paso 3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Paso 3.8.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Paso 3.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Paso 3.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Paso 3.9

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot - 1$ .

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + 1 \frac{1}{x}) d x$

Paso 3.9.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + \frac{1}{x}) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4

Reordena $y$ y $- 1$ .

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.8.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.8.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.9

Suma $- 1 y$ y $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.10

Resta $1$ de $0$ .

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.11

Divide $y^{2} - 1$ por $y$ .

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Paso 4.2.11.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Paso 4.2.11.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

Paso 4.2.11.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Paso 4.2.11.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{2} + 0$ .

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Paso 4.2.11.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Paso 4.2.11.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Paso 4.2.11.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.12

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.13

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.15

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.16

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 4.3.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$