Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

Paso 1.3.2

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Reordena $\sin (x)$ y $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

Paso 1.3.2.2

Agrega paréntesis.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

Paso 1.3.2.3

Reescribe $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

Paso 1.3.2.4

Cancela los factores comunes.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ por $1$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Paso 2.2

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.3.3.1

Factoriza $y$ de $2 y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

Paso 2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

Paso 2.3.3.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Paso 2.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

Paso 2.3.3.2.5

Divide $2 y$ por $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

Paso 2.3.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| y |)$ como $- \ln (| y |)$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.5

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

Paso 3.1.3.1.6

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

Paso 3.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$