Cálculo Ejemplos

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ por $\cot (x)$ .

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\cot (x)$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 1.3

Factoriza $y$ de $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 1.4

Reordena $y$ y $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

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Paso 2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

Paso 2.2.4.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

Paso 2.2.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

Paso 2.2.5

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sec^{- 2} (x)$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Paso 2.7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Paso 2.8

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Paso 2.9

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Paso 2.10

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

${(1 \cos (x))}^{2}$

Paso 2.11

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\cos^{2} (x)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Separa las fracciones.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.2

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.5

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.2.7.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.7.2

Cancela el factor común.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.7.3

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{- 2}{1}$ y $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.9

Combina $\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ y $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.2.10

Divide $- 2 \cos (x) \sin (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Paso 3.3

Separa las fracciones.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

Paso 3.4

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

Paso 3.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Paso 3.6

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Paso 3.7.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Paso 3.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.9.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.9.2

Cancela el factor común.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.9.3

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

Paso 3.10

Combina $\frac{5}{1}$ y $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

Paso 3.11

Combina $\frac{5 \cos (x)}{1}$ y $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Paso 3.12

Divide $5 \cos (x) \sin (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

Paso 3.13

Reordena los factores en $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 7.2

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.2.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 7.2.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 7.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

Paso 7.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

Paso 7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Reescribe $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Paso 7.6.2

Simplifica.

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Paso 7.6.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

Paso 7.6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

Paso 7.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ por $\cos^{2} (x)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ por $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $- \frac{5}{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Paso 8.3.1.3

Separa las fracciones.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.4

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

Paso 8.3.1.5

Divide $C$ por $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$