Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\sqrt{1 - y}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Paso 2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Paso 2.2.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int d x$

Paso 2.2.4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int d x$

Paso 2.2.4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int d x$

Paso 2.2.4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ como $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - y$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.2.2

Divide ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} - \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - y)}^{1} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$1 - y = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ como $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ .

$1 - y = (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Expande $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.3.1.1

Multiplica $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - y = 1 \frac{x}{2} \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.2

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$1 - y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.3

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.2

Multiplica $- \frac{x}{2} (- \frac{K}{2})$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 1 \frac{x}{2} \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.3

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.3

Multiplica $- \frac{K}{2} (- \frac{x}{2})$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.3.2

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.3.3

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.3.1.4

Multiplica $- \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.2

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.3

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.4

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.5

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.7

Suma $1$ y $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Suma $\frac{x K}{4}$ y $\frac{K x}{4}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $K$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Suma $\frac{K x}{4}$ y $\frac{K x}{4}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{4}$ como $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{K x}{2}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \frac{K x}{2}$ como $- \frac{K x}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.5

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - 1 \cdot \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.6

Reescribe $- 1 \cdot \frac{K^{2}}{4}$ como $- \frac{K^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.7

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + 1$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + K$