Cálculo Ejemplos

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reordena los términos.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Paso 1.2

Divide cada término en $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$e^{\arctan (x) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\arctan (x)}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{\arctan (x)}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{\arctan (x)}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2} + 1}$ y $y$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2.2

Combina $e^{\arctan (x)}$ y $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.3

Para escribir $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Factoriza $e^{\arctan (x)}$ de $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $e^{\arctan (x)}$ de $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $e^{\arctan (x)}$ de $e^{\arctan (x)} y$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $e^{\arctan (x)}$ de $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.6

Combina $e^{\arctan (x)}$ y $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 3.7

Reordena los factores en $\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Sea $u = \arctan (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ , de modo que $(x^{2} + 1) d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1.1

Deja $u = \arctan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1.1

Diferencia $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 7.1.1.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 7.1.1.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 7.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

Paso 7.3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

Paso 7.4

Simplifica.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

Paso 7.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\arctan (x)$ .

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ por $e^{\arctan (x)}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ por $e^{\arctan (x)}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{\arctan (x)}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{\arctan (x)}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $\arctan (x)$ por $1$ .

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{\arctan (x)}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$