Cálculo Ejemplos

$\frac{d v}{d t} = \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d v = (\frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d v = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.2

Dado que $9$ es constante con respecto a $t$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ con respecto a $t$ es $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.5

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$v + C_{1} = 9 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$v = 9 \arctan (t) + \tan (t) + K$