Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x - 1$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x^{2} y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Paso 1.5

Elimina los paréntesis.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Paso 1.6

Mueve $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x - 1$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x - 1 d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int x - 1 d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{2} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Paso 5.4

Simplifica.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Paso 6

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2

Divide $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$