Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x^{2}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} d x$

Paso 1.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Simplifica.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.5.2

Simplifica.

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Paso 3.3.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.5.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{12} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = \frac{1}{12} x^{4} + C x + D$