Cálculo Ejemplos

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$y'' + 25 y = 0$

Paso 2

Obtén $y'$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

Paso 2.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

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Paso 2.3.2.1

Como $A$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $A \sin (5 x)$ con respecto a $x$ es $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2.6

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.2.7

Mueve $5$ a la izquierda de $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $B$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $B \cos (5 x)$ con respecto a $x$ es $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.3.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.3.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

Paso 2.3.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

Paso 2.3.4

Reordena los términos.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Paso 3

Obtén $y''$ .

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Paso 3.1

Establece la derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $5 A$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 A \cos (5 x)$ con respecto a $x$ es $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 5 B$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 B \sin (5 x)$ con respecto a $x$ es $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.4.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.4.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Paso 3.4.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

Paso 3.4.6

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

Paso 3.4.7

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

Paso 4

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

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Paso 5.2.1

Suma $- 25 A \sin (5 x)$ y $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

Paso 5.2.2

Suma $- 25 B \cos (5 x)$ y $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Paso 5.2.3

Suma $- 25 B \cos (5 x)$ y $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

Paso 6

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ es una solución para $y'' + 25 y = 0$