Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ y $y (e) = - 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $e$ por $x$ y de $- 2$ por $y$ en $y = \ln (| x |) + C$ .

$- 2 = \ln (| e |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\ln (| e |) + C = - 2$ .

$\ln (| e |) + C = - 2$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (e) + C = - 2$

Paso 4.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$1 + C = - 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$C = - 2 - 1$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$C = - 3$

Paso 5

Sustituye $- 3$ por $C$ en $y = \ln (| x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 3$ por $C$ .

$y = \ln (| x |) - 3$