Cálculo Ejemplos

$(2 x + y) d x + (x + \frac{1}{y}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x + y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Paso 1.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x + \frac{1}{y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{y}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{1}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 2.4

Como $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Paso 2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$1 = 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 2 x + y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{1}{y}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + \frac{1}{y}$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{1}{y}$

Paso 8.2.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{1}{y}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{1}{y}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{1}{y}$

Paso 8.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{1}{y}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{1}{y}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Suma $0$ y $x$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{1}{y}$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{1}{y}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{1}{y} - x$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $x + \frac{1}{y} - x$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $\frac{1}{y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $\frac{1}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 10.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + \ln (| y |) + C$