Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t + 1}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = t + 1$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = t + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| t + 1 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| t + 1 |) + C$

Paso 3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\ln (| t + 1 |) + C)$