Cálculo Ejemplos

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 2$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

Paso 2.4

Multiplica $e^{2 t}$ por $e^{t}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $e^{t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

Paso 2.4.3

Suma $t$ y $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

Paso 2.5

Reordena los factores en $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

Paso 6.2

Sea $u = 3 t$ . Entonces $d u = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = 3 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 6.2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 6.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común.

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Paso 6.5.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

Paso 6.5.3

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

Paso 6.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

Paso 6.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t$ .

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ por $e^{2 t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ por $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{3 t}$ y $e^{2 t}$ .

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Paso 7.3.1.1

Factoriza $e^{2 t}$ de $e^{3 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.3.1.2.4

Divide $e^{t}$ por $1$ .

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $3$ por $y$ en $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Paso 9.2.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 3$

Paso 9.2.3

Divide $C$ por $1$ .

$1 + C = 3$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 3 - 1$

Paso 9.3.2

Resta $1$ de $3$ .

$C = 2$

Paso 10

Sustituye $2$ por $C$ en $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $2$ por $C$ .

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$