Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 3)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(e^{x} + 3)}^{2}$ como $(e^{x} + 3) (e^{x} + 3)$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 3) (e^{x} + 3) d x$

Paso 2.3.1.2

Expande $(e^{x} + 3) (e^{x} + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 3) + 3 (e^{x} + 3) d x$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 3 + 3 (e^{x} + 3) d x$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

Paso 2.3.1.3.1.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

Paso 2.3.1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 3 \cdot e^{x} + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 3 e^{x} + 3 e^{x} + 9 d x$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $3 e^{x}$ y $3 e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 6 e^{x} + 9 d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Paso 2.3.3

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Paso 2.3.4

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Paso 2.3.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Paso 2.3.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Paso 2.3.7

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 \int e^{x} d x + \int 9 d x$

Paso 2.3.8

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 (e^{x} + C_{3}) + \int 9 d x$

Paso 2.3.9

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 (e^{x} + C_{3}) + 9 x + C_{4}$

Paso 2.3.10

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 6 e^{x} + 9 x + C_{5}$

Paso 2.3.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 6 e^{x} + 9 x + C_{5}$

Paso 2.3.12

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 9 x + 6 e^{x} + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 9 x + 6 e^{x} + K$