Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 \sin (3 x + 4)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 2 \sin (3 x + 4) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int \sin (3 x + 4) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 3 x + 4$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 3 x + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $3 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.3

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Paso 2.3.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (u)}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 4$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (3 x + 4)}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + K$