Cálculo Ejemplos

$6 y^{2} d x = 9 x y d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$9 x y d y = 6 y^{2} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y^{2}} (9 x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \frac{1}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Paso 3.2

Combina $9$ y $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{9}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x y$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x y$ de $x y^{2}$ .

$\frac{9}{x y (y)} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{x y \cdot y} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{y} d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{9}{y} d y = 6 \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Paso 3.5

Combina $6$ y $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x y^{2}} y^{2} d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{9}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $9$ es constante con respecto a $y$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$9 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$9 \ln (| y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $9 \ln (| y |)$ al mover $9$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{9}) - 6 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica $- 6 \ln (| x |)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Paso 5.2.1.1.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{6}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln (x^{6}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Multiplica ambos lados por $x^{6}$ .

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

Paso 5.5.3

Simplifica.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{6}$ .

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Paso 5.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

Paso 5.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

${| y |}^{9} = e^{C} x^{6}$

Paso 5.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.2.1

Reordena los factores en $e^{C} x^{6}$ .

${| y |}^{9} = x^{6} e^{C}$

Paso 5.5.4

Resuelve $y$

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Paso 5.5.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$| y | = \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

Paso 5.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} C}$