Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y + 4 x - 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = y + 4 x - 2 - 2 x y$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 4 x + y - 2$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d x} = (- 2 x y + 4 x) + y - 2$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 2) - 1 (- y + 2)$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 1 y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 2) (2 x - 1)$

Paso 1.2.4

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = (- y + 2) (2 x - 1)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- y + 2}$ .

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $- y + 2$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- y + 2} d y = (2 x - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- y + 2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = - y + 2$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = - y + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y + 2$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 2 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| - y + 2 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\ln (| - y + 2 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Divide $x$ por $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.5

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - 1 \cdot C$

Paso 3.1.3.1.6

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| - y + 2 |)} = e^{- x^{2} + x - C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x - C} = | - y + 2 |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$ .

$| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- y + 2 = \pm e^{- x^{2} + x - C}$

Paso 3.4.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Para escribir $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.2

Para escribir $\frac{- 2}{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.4.3.3.1

Multiplica $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3.3

Multiplica $\frac{- 2}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Paso 3.4.4.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\pm e^{- x^{2} + x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.2

Reescribe $- 1 (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ como $- (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2}{1}$

Paso 3.4.4.3.6

Divide $- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$ por $1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x + C}) + 2$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- x^{2} + x + C}$ como $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x} e^{C}) + 2$

Paso 4.3

Reordena $e^{- x^{2} + x}$ y $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2} + x}) + 2$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = - (C e^{- x^{2} + x}) + 2$