Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{4 d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x^{2}$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $\frac{3}{x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$

Paso 1.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$ por $4$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Paso 1.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Paso 1.7

Combina $\frac{3}{x}$ y $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Paso 1.8

Combina $\frac{3 y}{x}$ y $4$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y \cdot 4}{x} = x^{2} \cdot 4$

Paso 1.9

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = x^{2} \cdot 4$

Paso 1.10

Reordena $x^{2}$ y $4$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = 4 \cdot x^{2}$

Paso 1.11

Factoriza $y$ de $\frac{12 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{12}{x} = 4 \cdot x^{2}$

Paso 1.12

Reordena $y$ y $\frac{12}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12}{x} y = 4 \cdot x^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{12}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{12}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{12}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$e^{12 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{12 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{12 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{12 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{12})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{12}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{12}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{12}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} (\frac{12}{x} y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{12}{x}$ y $y$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{12}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{11} (12 y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{12} x^{2}$

Paso 3.4

Multiplica $x^{12}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 (x^{2} x^{12})$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{2 + 12}$

Paso 3.4.3

Suma $2$ y $12$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{14}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{12} y] = 4 x^{14}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{12} y] d x = \int 4 x^{14} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{12} y = \int 4 x^{14} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$x^{12} y = 4 \int x^{14} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{14}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$ como $4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$ .

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$

Paso 7.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{15}$ .

$x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ por $x^{12}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ por $x^{12}$ .

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{12}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{15}$ y $x^{12}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x^{12}$ de $\frac{4}{15} x^{15}$ .

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{12}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{4}{15} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{4}{15} x^{3} + \frac{C}{x^{12}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{4}{15}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{C}{x^{12}}$