Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x - (6 x + 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- (6 x + 1) d y = - \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ .

$\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- (6 x + 1)) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $6 x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ al numerador.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $\cos^{2} (y)$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ al numerador.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $\cos^{2} (y)$ de $- \cos^{2} (y)$ .

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- 1}{6 x + 1} d x$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.2

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (y)$ como $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$- \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.5

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.6

Sea $u_{1} = 2 y$ . Entonces $d u_{1} = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.6.1

Deja $u_{1} = 2 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.6.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 4.2.6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.2.6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.7

Combina $\cos (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.9

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{2})) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.10

Simplifica.

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.11

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.12

Simplifica.

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Paso 4.2.12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 y)$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.12.3

Combina $y$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.12.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Paso 4.2.12.4.1

Multiplica $\frac{\sin (2 y)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.12.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.2.13

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 x + 1} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = 6 x + 1$ . Entonces $d u_{2} = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = 6 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.2.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 + 0$

Paso 4.3.2.1.4.2

Suma $6$ y $0$ .

$6$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x + 1$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C$