Cálculo Ejemplos

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $e^{- y^{2}}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $e^{- y^{2}}$ de $x e^{- y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Combina fracciones.

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Paso 2.2.1.1

Combina $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ y $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.2.1

Niega el exponente de $e^{- y^{2}}$ y quítalo del denominador.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Paso 2.2.1.2.2.2

Multiplica $- y^{2} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

Paso 2.2.1.2.2.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = y^{2}$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Paso 2.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{y^{2}})$ ; para ello, mueve $y^{2}$ fuera del logaritmo.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Paso 3.4.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

Paso 3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$