Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (1 - x^{3})}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1^{3} - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3.1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3.2

Combinar.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2}) y}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $(1 - x) (1 + x + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Paso 1.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Entonces $d u = - 3 x^{2} d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 + x + x^{2})]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 - x$ y $g (x) = 1 + x + x^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.3.2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 - x) (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.3.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.3.2.1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.2.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.2.1.3.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.2.1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.2.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.3.2.1.3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \cdot - 1$

Paso 2.3.2.1.3.11.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + x + x^{2}$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot (1 + x + x^{2})$

Paso 2.3.2.1.3.11.3

Reescribe $- 1 (1 + x + x^{2})$ como $- (1 + x + x^{2})$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) - (1 + x + x^{2})$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - x) \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5

Combina los términos.

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Paso 2.3.2.1.4.5.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - x + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$1 - x + 2 x - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - x + 2 x - 2 x \cdot x - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - x + 2 x - 2 x^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.9

Suma $- x$ y $2 x$ .

$1 + x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + x - 2 x^{2} - 1 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.11

Resta $1$ de $1$ .

$x - 2 x^{2} + 0 - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.12

Suma $x - 2 x^{2}$ y $0$ .

$x - 2 x^{2} - x - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.13

Resta $x$ de $x$ .

$- 2 x^{2} + 0 - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.14

Suma $- 2 x^{2}$ y $0$ .

$- 2 x^{2} - x^{2}$

Paso 2.3.2.1.4.5.15

Resta $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Paso 2.3.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{3 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{3 u} d u)$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Expande $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.1.2.5.1

Mueve $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - (x \cdot x) - x \cdot x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x \cdot x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.1.2.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.2.2.1.1.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x^{1}) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{2 + 1} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combina los términos opuestos en $1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.3.1

Resta $x$ de $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.3.2

Suma $1 + x^{2}$ y $0$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.3.3

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 0 - x^{3} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |)) + 2 C$

Paso 3.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 \ln (| 1 - x^{3} |) + 2 C$

Paso 3.3

Simplifica $- 2 \ln (| 1 - x^{3} |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = - \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.5

Elimina el valor absoluto en ${| 1 - x^{3} |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$