Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $e^{y + 2}$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} (\frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $e^{y + 2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $e^{y + 2}$ de ${(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$e^{y + 2} d y = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{y + 2} d y = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y + 2$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 2$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = 2 x - 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $10$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{10}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{2 x - 1} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y + 2} = - \frac{5}{2 x - 1} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y + 2})$ ; para ello, mueve $y + 2$ fuera del logaritmo.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Paso 3.2.3

Multiplica $y + 2$ por $1$ .

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica $\ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$ .

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Paso 3.3.1.1

Divide la fracción $\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1}$ en dos fracciones.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.2.1

Divide la fracción $\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1}$ en dos fracciones.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Paso 3.3.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Paso 3.3.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1})$

Paso 3.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$