Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(15 x^{2} - 6)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Expande ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ como $(15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6)$ .

$y + C_{1} = \int (15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6) d x$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2} - 6) - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

Paso 2.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Paso 2.3.1.5

Mueve $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Paso 2.3.1.6

Mueve $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $15$ por $15$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Paso 2.3.1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int 225 x^{2 + 2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Paso 2.3.1.9

Suma $2$ y $2$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Paso 2.3.1.10

Multiplica $15$ por $- 6$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Paso 2.3.1.11

Multiplica $- 6$ por $15$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Paso 2.3.1.12

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} + 36 d x$

Paso 2.3.1.13

Resta $90 x^{2}$ de $- 90 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 180 x^{2} + 36 d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Paso 2.3.3

Dado que $225$ es constante con respecto a $x$ , mueve $225$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 225 \int x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Paso 2.3.5

Dado que $- 180$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 180$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 \int x^{2} d x + \int 36 d x$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 36 d x$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Paso 2.3.8.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Paso 2.3.8.2

Simplifica.

$y + C_{1} = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + K$