Cálculo Ejemplos

$\frac{d u}{d t} = 35 + 7 u + 5 t + u t$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d u}{d t} = (35 + 7 u) + 5 t + u t$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d u}{d t} = 7 (5 + u) + t \cdot (5 + u)$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 + u$ .

$\frac{d u}{d t} = (5 + u) (7 + t)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{5 + u}$ .

$\frac{1}{5 + u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{5 + u} ((5 + u) (7 + t))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $5 + u$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5 + u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{5 + u} ((5 + u) (7 + t))$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5 + u} \frac{d u}{d t} = 7 + t$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{5 + u} d u = (7 + t) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{5 + u} d u = \int 7 + t d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 5 + u$ . Entonces $d u_{1} = d u$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 5 + u$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $5 + u$ .

$\frac{d}{d u} [5 + u]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + u$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [u]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $5$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $5$ con respecto a $u$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int 7 + t d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int 7 + t d t$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 + u$ .

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = \int 7 + t d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = \int 7 d t + \int t d t$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = 7 t + C_{2} + \int t d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = 7 t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = 7 t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 5 + u |) = \frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Para resolver $u$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 5 + u |)} = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| 5 + u |) = \frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C} = | 5 + u |$

Paso 3.3

Resuelve $u$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| 5 + u | = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C}$ .

$| 5 + u | = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$| 5 + u | = e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$5 + u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t + C}$

Paso 3.3.4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t + C} - 5$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t + C}$ como $e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t} e^{C}$ .

$u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t} e^{C} - 5$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t}$ y $e^{C}$ .

$u = \pm e^{C} e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t} - 5$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$u = C e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t} - 5$