Cálculo Ejemplos

$(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x + (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2

Multiplica $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 1.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (0 + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.6

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 1.10

Combina $2$ y $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (x^{2} \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 1.11

Combina $x^{2}$ y $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2} (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Paso 1.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.12.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 \cdot x^{2} y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.12.2

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Cancela el factor común.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14

Reescribe la expresión.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15

Combina $y$ y $\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + \frac{y x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y x^{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.17

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.17.1

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y x^{2}$

Paso 1.17.2

Multiplica $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Paso 1.17.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{2}$

Paso 1.17.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{2}$

Paso 1.17.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{2}$

Paso 1.17.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{2}$

Paso 1.17.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Paso 1.18

Suma $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ y $y^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

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Paso 1.18.1

Reordena $y^{\frac{1}{2}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.18.2

Suma $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ y $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.19

Simplifica.

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Paso 1.19.1

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$

Paso 1.19.2

Reordena los factores en $3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ y $g (x) = x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Paso 2.3.2

Multiplica $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.3.4

Como $y^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 \cdot y^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x + 0)$

Paso 2.3.8

Suma $2 y^{\frac{1}{2}} x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x)$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x^{1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1 + 1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{2} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + 2 \cdot x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.8

Suma $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ y $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y \int 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = y (\int 2 d x + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y (2 x + C + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

Paso 5.4

Dado que $2 y^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y^{\frac{1}{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} \int x^{2} d x)$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

Paso 5.7

Reordena los términos.

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

$y \frac{d}{d y} [2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}] + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.5

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.6

Como $\frac{2 x^{3}}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \cdot \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.15

Multiplica $\frac{2 x^{3}}{3}$ por $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3 \cdot 2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.16

Multiplica $3$ por $2$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{6}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.17

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.18

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.19.1

Factoriza $2$ de $6 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.19.2

Cancela el factor común.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.19.3

Reescribe la expresión.

$y (0 + \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.20

Suma $0$ y $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.21

Combina $y$ y $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.22

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.23

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.23.1

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.23.2

Multiplica $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Paso 8.3.23.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.23.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.23.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.23.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.23.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.24

Multiplica $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.26

Suma $y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ y $2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ .

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.27

Cancela el factor común.

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.3.28

Divide $y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ por $1$ .

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d g}{d y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 8.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Simplifica $\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ .

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Paso 9.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 2) x = 0$

Paso 9.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- x^{2} y^{\frac{1}{2}} - 2) x = 0$

Paso 9.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{2} y^{\frac{1}{2}} x - 2 x = 0$

Paso 9.1.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x \cdot x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Paso 9.1.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 9.1.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{1} x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Paso 9.1.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{1 + 2} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Paso 9.1.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ de $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x + 0 - 2 x = 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $\frac{d g}{d y} + 2 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x - 2 x = 0$

Paso 9.1.2.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Paso 9.1.2.4

Suma $\frac{d g}{d y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 10.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 10.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3}) + C$

Paso 12.1.1.2

Combina $\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

Paso 12.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = y (2 x) + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Paso 12.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = 2 y x + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Paso 12.1.4

Multiplica $y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

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Paso 12.1.4.1

Combina $y$ y $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{3})}{3} + C$

Paso 12.1.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 (y^{1} y^{\frac{1}{2}}) x^{3}}{3} + C$

Paso 12.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{1 + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Paso 12.1.4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Paso 12.1.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2 + 1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Paso 12.1.4.6

Suma $2$ y $1$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{3} + C$