Cálculo Ejemplos

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ por $\ln (| y |)$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ por $\ln (| y |)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $\ln (| y |)$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Paso 2.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $\ln (| y |)$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación.

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (| y |)$ y $d v = 1$ .

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Combina $y$ y $\frac{1}{y}$ .

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Paso 3.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

Paso 3.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

Paso 3.2.4

Simplifica.

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Paso 3.2.5

Reordena los términos.

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Paso 3.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$