Cálculo Ejemplos

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

Paso 1

Resta $(1 + \ln (y)) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Paso 3.3

Reordena los factores en $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $1 + \ln (y)$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ al numerador.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $1 + \ln (y)$ de $x (1 + \ln (y))$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = \ln (y)$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , de modo que $y d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = \ln (y)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Paso 4.2.1.1.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.2.2.1

Deja $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Paso 4.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 4.2.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 4.2.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.2.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 4.2.4.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

Paso 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

Paso 5.5.2

Reordena los factores en $\ln (| x + \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

Paso 5.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

Paso 5.7

Reescribe $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

Paso 5.8

Resuelve $y$

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Paso 5.8.1

Reescribe la ecuación como $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

Paso 5.8.2

Resuelve $y$

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Paso 5.8.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

Paso 5.8.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

Paso 5.8.2.3

Divide cada término en $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.8.2.3.1

Divide cada término en $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ por $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 5.8.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.2.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.8.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 5.8.2.3.2.1.2

Divide $\ln (y)$ por $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 5.8.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.2.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.8.2.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 5.8.2.3.3.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Paso 5.8.2.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Paso 5.8.2.5

Reescribe $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

Paso 5.8.2.6

Reescribe la ecuación como $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$